$§$ 7.6 $Jordan$ 标准型的求法
计算 $Jordan$ 标准型是一个重要的问题，也是后续专业课的需要，对于数字矩阵 $A$ ，通常的方法是利用 $λ-$ 矩阵的初等变换求出特殊矩阵 $λI - A$ 的法式，得到 $A$ 的不变因子和初等因子，便可写出 $Jordan$ 标准型，对于含有未定元的文字矩阵，或者仅知矩阵有些相似不变量的信息，此时若直接计算会遇到困难，一般来说需要先对矩阵的结构进行分析，求出 $A$ 的行列式因子、不变因子或初等因子，然后才能得到 $Jordan$ 标准型
如何分析矩阵的结构呢？通常我们有以下三种方法.
- 计算行列式因子 对于某些具有简单结构的矩阵（如上(下)三角，类上(下)三角矩阵），可以通过适当选取子式，计算出行列式因子，再得到不变因子和初等因子. 比如， $Frobenius$ 块和 $Jordan$ 块就是利用这种方法的典型例子；
- 计算极小多项式 因为矩阵的极小多项式是整除关系下的最大的不变因子，所以极小多项式确定了最大 $Jordan$ 块的阶数；
- 计算特征值的重数 因为特征值的几何重数等于其 $Jordan$ 块的个数，所以计算几何重数有助于 $Jordan$ 标准型的确定
下面是一些典型例题，我们来首先看一下计算几何重数的两个方法