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1.1 A quick review of measure and integration theory

在本节中，我们快速回顾抽象测度论和积分理论的基础知识，这些基础知识在上一课程中已介绍过，但在当前课程中当然会依赖这些基础知识。 这只是材料的简短摘要； 当然，人们应该查阅实分析文本来了解该理论的全部细节。

1.1.1. 可测量的空间。 理想情况下，空间 X 的测度理论应该能够为 X 中的每个集合分配一个测度（或体积、或质量等）。 不幸的是，由于巴拿赫-塔斯基悖论等悖论，许多自然的测度概念（例如勒贝格测度）无法应用于测量 X 的所有子集； 相反，我们必须将注意力限制在 X 的某些可测量子集上。事实证明，这对于大多数应用来说已经足够了； 例如，人们实际遇到的欧几里得空间的任何非病态子集都将是勒贝格可测的（作为一般经验法则，任何在其构造中不依赖于选择公理的集合都将是可测的）。