5.2 整除和带余除法
带余除法和待定系数法是讨论整除问题的两个基本方法，下面是两个简单的例子
1. 设 $g(x) = ax+b \in \mathbb{F}[x]$ ，求证: $g(x) | f(x)^{2}$ 的充要条件是 $g(x) | f(x)$.
2. 设 $g(x) = ax^{2} + bx + c (abc \neq 0), f(x) = x^{3} + px^{2} + qx + r$ ，满足 $g(x) | f(x)$，求证
$$ \dfrac{ap - d}{a} = \dfrac{aq - c}{b} = \dfrac{ar}{c} $$
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这里要讲一下凑项法，这个方法其实初中甚至小学应该就会接触了，是指在要证明的等式中添加若干项再减去若干项来证明结论的方法，下面是两个典型例子，请读者仔细领会
3. 证明: $x^{d} - a^{d}$ 整除 $x^{n} - a^{n}$ 的充要条件是 $d | n$，其中 $a \neq 0$
4. 设 $f(x) = x^{3m} + x^{3n+1} + x^{3p+2}$ ，其中 $m, n, p$ 是自然数，又 $g(x) = x^{2} + x + 1$，求证 : $g(x) | f(x)$
5.3 最大公因式与互素多项式
若 $f(x) , g(x)$ 的最大公因式是 $d(x)$ ，则必定存在多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x)$. 但请读者注意，这不是 $d(x)$ 为$f(x),g(x)$ 最大公因式的充要条件，下面的例题5.5说明了这一点，并且 $u(x)$ 和 $v(x)$ 也不唯一，只有在一定条件下才能保证唯一性，请参考例5.6. 另外5.7及其推论是对两个多项式最大公因式理论的推广.
5. 设 $d(x) = f(x)u(x) + g(x)v(x)$ ，举例说明 $d(x)$ 可以不必是 $f(x) , g(x)$ 的最大公因式，若进一步有 $d(x) | f(x), d(x) | g(x)$，求证: $d(x)$ 必定是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最大公因式
6. 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是次数不小于1的互素多项式，求证: 必定唯一地存在两个多项式 $u(x), v(x)$ 使得
$$ f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1 $$ 且 $deg u(x) < deg g(x), deg v(x) < deg f(x)$.
7. 设 $d(x)$ 是 $f_{1}(x), f_{2}(x), \dots, f_{m}(x) $的最大公因式，求证: 必定存在多项式 $g_{1}(x), g_{2}(x), \dots, g_{m}(x) $，使得
$$ f_{1}(x)g_{1}(x) + f_{2}(x)g_{2}(x) + \dots + f_{m}(x)g_{m}(x) = d(x) $$
推论
数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $f_{1}(x), f_{2}(x), \dots, f_{m}(x)$ 互素的充要条件是存在 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $g_{1}(x), g_{2}(x), \dots, g_{m}(x)$，使得
$$ f_{1}(x)g_{1}(x) + f_{2}(x)g_{2}(x) + \dots + f_{m}(x)g_{m}(x) = 1 $$
以下几个例子是应用互素多项式性质的例子
8. 设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 互素，求证: $f(x^{m})$ 和 $g(x^{m})$ 也互素，其中 $m$ 为任一正整数.
9. 设 $(f(x), g(x)) = 1$ ，求证: $(f(x)g(x), f(x) + g(x)) = 1$
10. 设 $f_{1}(x), \dots, f_{m}(x), g_{1}(x), \dots, g_{n}(x)$ 为多项式，且
$$ (f_{i}(x),g_{j}(x)) = 1, 1 \le i \le m; 1 \le j \le n $$
求证: $$ ( f_{1}(x)f_{2}(x)f_{m}(x), g_{1}(x)g_{2}(x)g_{n}(x)) = 1. $$
11. 求证: $(f(x), g(x)) = 1$ 的充要条件是对任意给定的正整数 $m, n, (f(x)^{m}, g(x)^{n}) = 1$
12. (中国剩余定理)
设 $ g_{1}(x), \dots, g_{n}(x) $是两两互素的多项式 ，$ r_{1}(x), \dots, r_{n}(x)$ 是 $n$ 个多项式. 求证: 存在多项式 $f(x)$ ，使得 $f(x) = g_{i}(x)q_{i}(x) + r_{i}(x) (1 \le i \le n)$
13. 设 $(f(x), g(x)) = d(x)，|f(x), g(x)| = h(x)$，求证:
$$ (f(x)^{n}, g(x)^{n}) = d(x)^{n}，，|f(x)^{n}, g(x)^{n}| = h(x)^{n} $$
14. 设 $f(x) = x^{m} -1, g(x) = x^{n} - 1$, 求证: $(f(x), g(x)) = x^{d} - 1$, 其中 $d$ 是 $m,n$ 的最大公因子
15. 设 $(f(x), g(x)) = d(x)$，求证: 对任意的正整数 $n$，
$$ (f(x)^{n}, f(x)^{n-1}g(x), \dots, g(x)^{n}) = d(x)^{n} $$
5.4 不可约多项式与因式分解
数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式$p(x)$ 与任一多项式 $f(x)$ 之间的关系很简单，即要么 $p(x)$ 整除 $f(x)$ ，或者 $p(x)$ 和 $f(x)$ 互素. 由不可约多项式的这一性质可以推出它的另一个重要性质，即例5.16，通常称为不可约多项式的"素性"
16. 设 $p(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的非常数多项式，求证: $p(x)$ 为 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式的充要条件是 对 $F$ 上任意适合 $p(x) | f(x)g(x)$ 的多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$，或者 $p(x) | f(x)$，或者 $p(x) | g(x)$
17. 设 $f(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的非常数多项式，求证: $f(x)$ 等于某个不可约多项式的幂的充要条件是 对任意的非常数多项式 $g(x)$，或者 $f(x)$ 可以整除 $g(x)$ 的某个幂.
下面的例题涉及到代数数，这是数论中的重要概念，与代数数密切相关的是他的极小多项式. 下面是有关代数数和极小多项式，这个例题是他俩的最基本命题
18. 设 $u$ 是复数域中的某个数，若 $u$ 适合某个非零有理系数多项式(或整系数多项式) $f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0} $，则称 $u$ 是一个代数数. 证明:
(1) 对任一代数数 $u$ ，存在唯一一个 $u$ 适合的首一有理系数多项式 $g(x)$，使得 $g(x)$ 是 $u$ 适合的所有非零有理系数多项式中次数最小者. 这样的 $g(x)$ 称为 $u$ 的极小多项式或最小多项式
(2) 设 $g(x)$ 是一个 $u$ 适合的首一有理系数多项式，则 $g(x)$ 是 $u$ 的极小多项式的充要条件是 $g(x)$ 是有理数域上的不可约多项式
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我们会在5.8节中给出代数数的极小多项式例子及其应用. 对于一般域上的代数扩张(不限定是有理数域)，在抽象代数课程中也会引入代数元的极小多项式的定义，其本质特征就是不可约性. 下面的例题告诉我们，数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式也满足例5.18中提及的极小多项式的基本性质
19. 设 $p(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的不可约多项式，$f(x)$ 是 $\mathbb{F}$ 上的多项式. 证明:若 $p(x)$ 的某个复根 $a$ 也是 $f(x)$ 的根，则 $p(x) | f(x)$. 特别地，$p(x)$ 的任一复根都是 $f(x)$ 的根
多项式的标准分解是证明某些问题的有力工具，下面是几个例子
20. 证明 : $g(x)^{2} | f(x)^{2}$ 的充要条件是 $g(x) | f(x) $
21. 设 $f(x), g(x)$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的多项式，若 $h(x)$ 是 $\mathbb{F}$ 上的多项式且适合 $f(x) |g(x), g(x) | h(x)$，则称 $h(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公倍式，进一步，若对 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的任一公倍式 $u(x)$，均有 $h(x) | u(x)$，则称 $h(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最小公倍式，记为 $h(x) = [f(x), g(x)]$，试证明:
$$ f(x)g(x) = c(f(x), g(x))[f(x), g(x)] $$ 其中 $c$ 是 $\mathbb{F}$ 中的某个非零常数